Question

已知数列{a_n}中a₂=2且前n项和S_n=

n(an+3a1)

2

（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}中首项的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若T_n=

16

an+1an+3

，数列{t_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=

n(an+3a1)

2

，n∈N*，a₂=2，能够导出数列{a_n}中首项的值．
（Ⅱ）由Sn=

nan

2

，知2S_n=na_n，2S_n-1=（n-1）a_n-1，由此能导出

an

n-1

=

an-1

n-2

=

an-2

n-3

=…=

a3

2

=

a2

1

，从而得到a_n=2（n-1），n∈N^*．
（Ⅲ）由tn=

16

an+1an+3

=

2

n

-

2

n+2

，知Tn=(

2

1

-

2

3

)  +(

2

2

-

2

4

)  +…+(

2

n

-

2

n+2

)=3-

2

n+1

-

2

n+2

．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn=

n(an+3a1)

2

，n∈N*，a₂=2，
∴S1=

a1+3a1

2

，∴a₁=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，Sn=

nan

2

，
∴2S_n=na_n，
2S_n-1=（n-1）a_n-1，
两式相减，2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，
∴2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
∴

an

n-1

=

an-1

n-2

，n≥3，n∈N^*，
∴

an

n-1

=

an-1

n-2

=

an-2

n-3

=…=

a3

2

=

a2

1

，
∴a_n=2（n-1），n≥2．
经检验，n=1也成立，∴a_n=2（n-1），n∈N^*．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，tn=

16

an+1an+3

=

2

n

-

2

n+2

，
∴Tn=(

2

1

-

2

3

)  +(

2

2

-

2

4

)  +…+(

2

n

-

2

n+2

)=3-

2

n+1

-

2

n+2

．

点评：本题考查数列中首项的求法和求解通项公式的方法，培养学生等差数列和等比数列综合题的解决方法．