Question

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（-

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）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立？若成立，求出k的取值范围，若不成立，说明理由．

Answer 1

分析：先假设存在实数k满足题意，再函数的单调性和不等式，列出对应的不等式，注意自变量与定义域的关系，再由0≤sin²x≤1求出k的范围即可．

解答：解：假设存在实数k满足题意，
∵f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，
∴

- 1 2 ≤k2-sin2x k2-sin2x≤1

，即-1+k2≤sin2x≤

1

2

+k2一切实数x恒成立，
∵0≤sin²x≤1，∴

-1+k2≤0 1 2 +k2≥1

，解得

1

2

≤k2≤1，
则-1≤k≤-

2

2

或

2

2

≤k≤1，
故当-1≤k≤-

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2

或

2

2

≤k≤1时不等式恒成立．

点评：本题考查了函数的单调性，正弦函数的值域的应用，以及恒成立的转化问题，属于中档题．