Question

已知正项数列{a_n}，{b_n}满足a₁=3，a₂=6，{b_n}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，

an

，bn+1成等比数列．
（ I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设Sn=

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

，试比较2S_n与2-

b 2 n+1

an+1

的大小．

Answer 1

分析：（I）利用正项数列{a_n}，{b_n}满足对任意正整数n，都有bn，

an

，bn+1成等比数列，可得a_n=b_nb_n+1，结合{b_n}是等差数列，可求数列的公差，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{a_n}的通项，利用裂项法求和，再作出比较，可得结论．

解答：解：（I）∵正项数列{a_n}，{b_n}满足对任意正整数n，都有bn，

an

，bn+1成等比数列，
∴a_n=b_nb_n+1，
∵a₁=3，a₂=6，∴b₁b₂=3，b₂b₃=6
∵{b_n}是等差数列，∴b₁+b₃=2b₂，∴b₁=

2

，b₂=

3 2

2

∴b_n=

2

2

(n+1)；
（Ⅱ）a_n=b_nb_n+1=

(n+1)(n+2)

2

，则

1

an

=2（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴S_n=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]=1-

2

n+2

∴2S_n=2-

4

n+2

∵2-

b 2 n+1

an+1

=2-

n+2

n+3

∴2S_n-（2-

b 2 n+1

an+1

）=

n2-8

(n+2)(n+3)

∴当n=1，2时，2S_n＜2-

b 2 n+1

an+1

；当n≥3时，2S_n＞2-

b 2 n+1

an+1

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查大小比较，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．