Question

（2012•长宁区二模）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；
（2）求三棱锥A-EFD的体积．

Answer 1

分析：（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到向量

PB

，

AC

的坐标，利用空间两个向量夹角公式，可计算出异面直线PB与AC所成的角的余弦值；
（2）由点F是PC中点，得F到平面AED的距离为PA长度的一半，从而得到三棱锥F-AED的高，算出△AED的面积S结合锥体的体积公式，可算出三棱锥F-AED的体积，即三棱锥A-EFD的体积．

解答：解：（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
∴

PB

=(2，0，-2)，

AC

=(2，4，0)…．（4分）
设

PB

与

AC

所成的角为θ，则cosθ=

4

2 2 •2 5

=

10

10

，…．（6分）
∴异面直线PB与AC所成角的余弦值为

10

10

．…．（8分）
（2）∵F是PC中点，∴F（1，2，1），可得F到平面AED的距离为1
又∴△AED的面积S=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

×2×4=4
∴三棱锥A-EFD的体积V_A-EFD=V_F-AED=

1

3

S_△AED×1=

4

3

．…（14分）

点评：本题给出特殊的四棱锥，求异面直线所成角余弦值并求锥体的体积，着重考查了用空间向量求直线间的夹角、线面垂直的性质和锥体的体积公式等知识，属于中档题．