Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程；
（Ⅱ）求函数g(x)=

f(x)

x

-lnx(x＞

1

2

)的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）=ax³+x²-ax的导函数，利用导函数值等于0求出对应的，并求出对应点的坐标，即可得到切线方程．
（II）先求出其导函数，再求出导函数大于等于0的区间即可得到其单调递增区间，注意是在定义域内找增减区间，要避免出错．

解答：解：（I）若a=1，则f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1．
令f′（x）=0⇒3x²+2x-1=0⇒x=-1或x=

1

3

．
把x=-1代入f（x）=x³+x²-x得：f（-1）=1．所以切线方程为：y-1=0×（x+1）⇒y-1=0；
把x=

1

3

代入f（x）=x³+x²-x得：f（

1

3

）=-

5

27

．所以切线方程为：y-

5

27

=0×（x-

1

3

）⇒y-

5

27

=0．
（II）：由题得：x＞

1

2

∵g(x)=

f(x)

x

-lnx=ax²+x-a-lnx；
∴g′（x）=2ax+1-

1

x

=

2ax2+x-1

x

；
所以：g′（x）≥0⇒

2ax2+x-1

x

≥0⇒2ax²+x-1≥0．
①当a=0时，2ax²+x-1=x-1≥0⇒x≥1，此时，函数g（x）的单调增区间是[1，+∞），
②当a≤-

1

8

，2ax²+x-1≤0恒成立，此时，函数g（x）无单调增区间，
③当a＞-

1

8

且a＜0时，2ax²+x-1≥0⇒

-1- 1+8a

4a

≤x≤

-1+ 1+8a

4a

＜

1

2

，函数g（x）无单调区间
④当1≥a＞0时，2ax²+x-1≥0⇒

-1+ 1+8a

4a

≤

1

2

≤x，函数g（x）的单调增区间是[

1

2

，+∞），
⑤1＜a时，2ax²+x-1≥0⇒

1

2

≤

-1+ 1+8a

4a

≤x，函数g（x）的单调增区间是[

-1+ 1+8a

4a

，+∞）；
综合可得当a＜0时，函数g（x）无单调增区间，
当a=0时，函数g（x）的单调增区间是[1，+∞），
当1≥a＞0时函数g（x）的单调增区间是[

1

2

，+∞）．
1＜a时，函数g（x）的单调增区间是[

-1+ 1+8a

4a

，+∞）；

点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程．切线斜率的求法是先求函数的导函数，切点处的导函数值极为切线斜率，还考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于中档题．