Question

若抛物线y=ax²-1上总存在两点关于直线x+y=0对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．
解答：解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为M（x，y），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax²-x-（1+b）=0．①
∵△=1+4a（1+b）＞0．②
由中点坐标公式可得，x==，y=x+b=+b．
∵M在直线L上，
∴0=x+y=++b，
即b=-，代入②解得a＞．
故实数a的取值范围（，+∞）
故选B
点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，体现了方程的根与系数关系及方程思想的应用，属于中档试题，有一定的计算量．