Question

已知直线l被直线l₁：2x+y+1=0与l₂：x-2y-3=0截得的线段中点恰好为坐标原点．
（1）求直线l的方程；
（2）若抛物线y=ax²-1（a≠0）上总不存在关于l对称的两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设l₁与l的交点P（a，-2a-1），l₂与l的交点Q（2b+3，b），两者联立，可得Q的坐标，又由其过原点，结合两点式可得l的方程．
（2）假设存在，先求存在时的a的值，求法为：设抛物线上存在两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）关于直线l：x+y=0对称，设l_MN：y=x+t线段MN的中点为A（x₀，y₀），联立直线题意抛物线的方程，可得A的坐标，分析可得，当a＞

3

4

时，抛物线上存在两点关于直线l：x+y=0对称，反之可得答案．

解答：解：（1）设l₁与l的交点P（a，-2a-1），l₂与l的交点Q（2b+3，b）
则

a+2b+3=0 -2a-1+b=0

∴b=-1，则Q（1，-1），
故l的方程为：x+y=0（6分）
（2）设抛物线上存在两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）关于直线l：x+y=0对称
设l_MN：y=x+t线段MN的中点位A（x₀，y₀）
由

y=x+t y=ax2-1

得ax²-x-t-1=0（8分）
△=1+4a（t+1）＞0①
且x^+x^=

1

a

x^x^=-

t+1

a

∴x0=

1

2a

y0=

1

2a

+t∴A(

1

2a

，

1

2a

+t)（10分）
中点A(

1

2a

，

1

2a

+t)在直线x+y=0上∴

1

2a

+

1

2a

+t=0即t=-

1

a

代入①得：a＞

3

4

即当a＞

3

4

时，抛物线上存在两点关于直线l：x+y=0对称，
故抛物线上不存在两点关于直线l：x+y=0对称时，a≤

3

4

且a≠0（14分）

点评：本题有一定难度，尤其在解（2）时，注意从反面下手，得到结论后，再回归题目本意，从而得到答案．