Question

已知函数 f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求证函数f（x）在（0，+∞）内单调递增．
（3）若f^-1（x）是函数f（x）的反函数，设F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函数F（x）的最小值及对应的x值．

Answer 1

（1）函数 f（x）=log₃（3^x-1），得：3^x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定义域 是（0，+∞）．
（2）设在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=log3

3x2-1

3x1-1

由y=3^x在定义域（0，+∞）内单调递增得：

3x2-1

3x1-1

＞ 1，∴log3

3x2-1

3x1-1

＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函数f（x）在（0，+∞）内单调递增（3分）
（3）由 f（x）=log₃（3^x-1），得：f^-1（x）=log₃（3^x+1），∴F（x）=f^-1（2x）-f（x）=log3

32x+1

3x-1

log3(3x-1+

2

3x-1

+2)≥log3(2

2

 +2)
当x=log3(

2

+1)时，F（x）最小值为log3(2

2

+2)