Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF₂F₁=-2，则双曲线的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：在△PF₁F₂中，根据正弦定理算出PF₁=2PF₂．根据tan∠PF₁F₂=，tan∠PF₂F₁=-2，结合三角形内角和与两角和的正切公式，得到tan∠F₁PF₂值，从而算出cos∠F₁PF₂值，根据余弦定理得到+-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=3．将两式联解即得PF₁、PF₂的长，从而得到双曲线的2a值，最后用离心率的公式可求出双曲线的离心率．
解答：解：∵△PF₁F₂中，sin∠PF₁F₂═，sin∠PF₁F₂═，
∴由正弦定理得，…①
又∵，tan∠PF₂F₁=-2，
∴tan∠F₁PF₂=-tan（∠PF₂F₁+∠PF₁F₂）=-=，可得cos∠F₁PF₂=，
△PF₁F₂中用余弦定理，得+-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂==3，…②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合，得离心率
故答案为：
点评：本题以求双曲线的离心率为载体，考查正余弦定理解三角形、两角和的正切公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．