Question

已知函数f（x）在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x，都有f（ax）=af（x），若f（1）=2，则函数y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的递减区间是

（0，

1

2

）

．

Answer 1

分析：由题意先求出函数f（x）的解析式，从而可求出y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的表达式，用导数即可求得其递减区间．

解答：解：由题意得，当x＞0时，f（x）=f（x•1）=xf（1）=2x．
所以y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)=2x+

1

2x

（x＞0）．
令y′=2-

1

2x2

＜0，解得0＜x＜

1

2

．
所以函数y=f(x)+

1

f(x)

(x＞0)的递减区间是（0，

1

2

）．
故答案为：（0，

1

2

）．

点评：本题考查函数解析式的求解及函数单调性的性质，解决本题的关键是利用已知条件求出函数解析式．