Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BA=BC=1，∠B₁BC=60°，∠ABC=90°，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，M、N分别是BC的三等分点．
（1）求证：A₁N∥平面AB₁M；
（2）求证：AB⊥B₁M；
（3）求三棱锥A-B₁BC的体积V．

Answer 1

分析：（1）OM为△A₁BN的中位线，所以OM∥A₁N又∵A₁N?平面AB₁M，OM?平面AB₁M∴A₁N∥平面AB₁M．
（2）AB⊥BC，AB?平面ABC，所以AB⊥平面BB₁C，又B₁M?平面BB1C₁C，∴AB⊥B₁M．
（3）由AB⊥平面BB₁C₁C可得三棱锥的高是AB，底面为三角形BCB₁所以可求的三棱锥的体积为

1

3

×(

1

2

× 1×1×sin60°)×1=

3

12

．

解答：解（1）连A₁B交AB₁与O，连OM，
则OM为△A₁BN的中位线
∴OM∥A₁N
∵A₁N?平面AB₁M，OM?平面AB₁M
∴A₁N∥平面AB₁M．
（2）∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，而∠ABC=90°
∴AB⊥BC，AB?平面ABC
∴AB⊥平面BB₁C
∵B₁M?平面BB1C₁C
∴AB⊥B₁M．
（3）∵AB⊥平面BB₁C₁C
∴V=

1

3

×(

1

2

× 1×1×sin60°)×1=

3

12

点评：证明线面平行关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线；证明线线垂直的关键是先把其中一条直线作为垂线另一条直线在一个平面内通过证明线面垂直得到；求三棱锥的体积较难时应该考虑是否换一个定点使其高与底面积都易求．