题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ 的图象上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若 $数学公式$ = $数学公式$ （ $数学公式$ ），且点P的横坐标为 $数学公式$ ．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+A+f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）
（3）记T_n为数列{ $数学公式$ }的前n项和，若T_n＜a（S_n+1+ $数学公式$ ）对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．

解：（1）证：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），
∴P是P₁P₂的中点?x₁+x₂=1------（2分）
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．．-----------------------------（4分）
（2）解：由（1）知x₁+x₂=1，f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2- $\text{[math]}$ ，
S_n=f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ），
S_n=f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ），
相加得 2S_n=f（1）+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]+…+[f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）]+f（1），
=2f（1）+n-1=n+3-2 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．------------（8分）
（3）解： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ --------------------（10分）　
　 $\text{[math]}$ ?a $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ≥8，当且仅当n=4时，取“=”
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因此，a $\text{[math]}$ -------------------（12分）
分析：（1）由于点在函数图象上，同时满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），那么利用坐标化简得到结论．
（2）根据f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2- $\text{[math]}$ ，结合倒序相加法求解得到结论．
（3）根据已知的和式得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，裂项求和的数学思想得到证明．
点评：本试题主要考查了函数，与向量，以及数列的知识的综合运用．以函数为模型，确定点的坐标关系式，进一步结合向量得到结论，并利用倒序相加法求解和，同时利用裂项求和得到不等式的证明．