Question

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞1)
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数在（-∞，+∞）上单调递增；
（3）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）用奇偶性定义判断，先看定义域是否关于原点对称，再看-x与x函数值之间的关系；
（2）可用单调性定义，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号；也可以用导数法，导数恒大于零，则说明函数是增函数．
（3）由当x∈R时，a^x＞0，我们用有界法，将原函数转化为，ax=

1+y

1-y

，则有a^x＞0等价于

1+y

1-y

＞0求解．

解答：解：（1）函数的定义域为R
又f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=-(

ax-1

ax+1

)=-f(x)
所以是奇函数．
（2）f′（x）=

2axlna

(ax+1)2

∵a＞1
∴lna＞0
∴f′（x）＞0
∴f（x）在R上是增函数．
（3）函数f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞1)可转化为：ax=

1+y

1-y

∵a^x＞0
∴

1+y

1-y

＞0
解得：-1＜y＜1

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，只有定义法；考查函数单调性的证明，有定义法和导数法，考查值域的求法，常用方法有：配方法，换元法，判别式法，有界性法，分离常数法等等．