Question

【题目】

已知椭圆两个焦点的坐标分别是， ，并且经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2） 已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交椭圆于， 两点，

点在上， ， ，证明： .

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析： 由椭圆定义可得，即，由题意可得，结合的关系可得，进而得到椭圆方程；

设直线的方程，求得点坐标，同理可得点坐标，代入，验证，即可证得结果

解析：(1)由焦点的坐标设椭圆标准方程是．设左、右焦点是

又∵点在椭圆上，∴

∴，

∴，即．

由已知半焦距，∴．

∴椭圆的方程为．

（2）由（1）知 ，直线的方程是

将方程代入得.

设，则由题意知，由得，

故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，

，

所以在单调递增，又，

因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.