Question

已知点p是圆（x+1）²+y²=16上的动点，圆心为B．A（1，0）是圆内的定点；PA的中垂线交BP于点Q．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）若直线l交轨迹C于M，N（MN与x轴、y轴都不平行）两点，G为MN的中点，求K_MN•K_OG的值（O为坐标系原点）．

Answer 1

分析：（1）利用垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|，由|QB|+|QP|=4，可得|QB|+|QA|=4，利用椭圆的定义可得点Q的轨迹是一个椭圆；
（2）法一：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．代入可得

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，利用点差法可得

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

3

4

．再利用斜率计算公式即可得出K_MN•K_OG的值；
法二：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直线MN的方程为y=kx+b（k≠0），则G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
由于y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，利用斜率计算公式可得kOG=

y1+y2

x1+x2

=k+

2b

x1+x2

，将y=kx+b代入椭圆方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=-

8kb

4k2+3

，代入得到kOG=k+

2b

-8kb 4k2+3

=k-

4k2+3

4k

=-

3

4k

，即可得出K_MN•K_OG的值．

解答：解：（1）由条件知：|QA|=|QP|，
∵|QB|+|QP|=4，
∴|QB|+|QA|=4，
∵|AB|=2＜4，
所以点Q的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，
∵2a=4，2c=2，∴b²=3，
所以点Q的轨迹C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
∵直线l与椭圆相较于点M，N，
∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
∴

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，可得

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

3

4

．
∵kMN=

y1-y2

x1-x2

，kOG=

y1+y2

x1+x2

，
∴kMN×kOG=

y 2 1 - y 2 2

x 2 1 - x 2 2

=-

3

4

．
另解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁≠x₂，y₁≠y₂），直线MN的方程为y=kx+b（k≠0），
则G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，
∴kOG=

y1+y2

x1+x2

=k+

2b

x1+x2

，
将y=kx+b代入椭圆方程得：（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴x1+x2=-

8kb

4k2+3

，
∴kOG=k+

2b

-8kb 4k2+3

=k-

4k2+3

4k

=-

3

4k

，
所以kMN•kOG=k•(-

3

4k

)=-

3

4

．

点评：本题综合考查了圆与椭圆的定义及其标准方程、线段的垂直平分线、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线的斜率计算公式、点差法等基础知识与基本技能，考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力．