Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．

（1）证明：PE⊥BC；

（2）若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）证明：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设，，，则A（1,0,0），B（0,1,0），

C（－m, 0, 0），P（0, 0，n），D（0，－m, 0），E（，，0），可得＝（，，－n），＝（－m，－1, 0）．

因为·＝+＋0＝0，所以PE⊥BC．

（2）由已知条件可得m＝，n＝1，故C（－，0, 0），D（0，－，0），

E（，－，0），P（0, 0, 1），则，，

设＝（x，y，z）为平面PEH的法向量，

则即因此可以取＝（1，，0），

又＝（1, 0，－1），所以|cos〈，〉|＝，

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．