Question

如图，过抛物线y²＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M₁、N₁   
 
(Ⅰ)求证：FM₁⊥FN₁:
(Ⅱ)记△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面积分别为，试判断S²₂＝4S₁S₃是否成立，并证明你的结论。   

Answer 1

(Ⅰ) 略（Ⅱ）成立。

本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）
（1）      证法1：由抛物线的定义得
    
               2分
如图，设准线l与x的交点为


而
即

故
证法2：依题意，焦点为准线l的方程为
设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有

由 得
于是，，
，故
（Ⅱ）成立，证明如下：
证法1：设，则由抛物线的定义得
，于是





将与代入上式化简可得   
，此式恒成立。
故成立。
证法2：如图，设直线M的倾角为，
则由抛物线的定义得

于是
在和中，由余弦定理可得

由（I）的结论，得

即，得证。