Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n=(2n-1)a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；

(3)若c_n=tⁿ[1g(2t)ⁿ+lga_n+2](0＜t＜1)，且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：(1)3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，∴2a_n=a_n-1,，

∵a₁=2，∴a_n=2()^n-1=2^2-n 

(2)b_n=(2n-1)2^2-n，

T_n=1×2+3×2⁰+5×2^-1+…+(2n-1)2^2-n， 

T_n=1×2⁰+3×2^-1+…+(2n-3)2^2-n+(2n-1)·2^1-n,

∴T_n=2+2(2⁰+2^-1+…+2^2-n)-(2n-1)·2^1-n

=2+-(2n-1)2^1-n，

∴T_n=12-(2n+3)×2^2-n 

(3)c_n=tⁿ(nlg2+nlgt+lg^2-n)=ntⁿlgt，

∵c_n＜c_n+1，∴tⁿlgtⁿ＜tⁿ⁺¹lgtⁿ⁺¹,

∵0＜t＜1，∴nlgt＜t(n+1)lgt， 

n＞t(n+1)，t＜,n∈N*，，

∴0＜1＜