Question

已知函数f(x)=ln(ex+1)-

1

2

x．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若不等式f（x²+2）≤f（2ax-a）的解集是A={x|x²-5x+4≤0}的子集，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

ex

ex+1

-

1

2

=

ex-1

2(ex+1)

，
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，在（-∞，0）上是单调减函数
由f(x)-f(-x)=ln

ex+1

e-x+1

-x=lnex-x=0∴f（x）为R上的偶函数
（Ⅱ）由x²+2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
从而不等式等价于：x²+2≤|a||2x-1|
又不等式x²-5x+4≤0的解集为A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x²+2-2|a|x+|a|≤0
1⁰当△＜0时，不等式的解集为空集，满足条件，即|a|∈（-1，2）?|a|＜2成立；
2⁰当△=0时，|a|=2，此时x²-4x+4≤0?x=2∈A成立；
3⁰当△＞0时，|a|＞2，
设方程x²+2-2|a|x+|a|=0的两根为x₁，x₂，则

f(1)≥0 f(4)≥0 1＜|a|＜4 |a|＞2

?2＜|a|≤

18

7

综上，|a|≤

18

7

?a∈[-

18

7

，

18

7

]