Question

已知函数f(x)=，
(1)若a=4，求曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)求f(x)的极值；
(3)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(1)∵a=4，
∴且，
又∵，
∴，
∴f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为：，即4x+e²y-9e=0．
(2)f(x)的定义域为(0，+∞)，，
令f′(x)=0得，
当时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；
∴f(x)在处取得极大值，即。
(3)①当，即a＞-1时，由(2)知f(x)在(0，)上是增函数，在上是减函数，
∴当时，f(x)取得最大值，即；
又当x=e^-a时，f(x)=0，当x∈(0，e^-a]时，f(x)＜0，
当x∈(e^-a，e²]时，，
所以f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0，e²]上有公共点，
等价于，解得a≥1，
又因为a＞-1，所以a≥1；
②当，即a≤-1时，f(x)在(0，e²]上是增函数，
∴f(x)在(0，e²]上的最大值为，
∴原问题等价于，解得a≥e²-2，
又∵a≤-1，
∴无解；
综上，a的取值范围是a≥1。