Question

已知函数f（x）=sin²x+asinxcosx-cos²x，且f(

π

4

)=1
（1）求常数a的值及f（x）的最小值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）由f(

π

4

)=1，把x=

π

4

代入已知函数，可求a的值，把a代入到已知函数中，利用辅助角公式对函数化简可得f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)，结合正弦函数的性质，当2x-

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈z，时sin(2x-

π

4

)取最小值-1，从而可求函数的最小值
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

结合x∈[0，

π

2

]，可求

解答：解：（1）∵f(

π

4

)=1，
∴sin2

π

4

+asin

π

4

cos

π

4

-cos2

π

4

=1
∴a=2
∴f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
当2x-

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈z，
即x=kπ-

π

8

，k∈z时sin(2x-

π

4

)取最小值-1，
从而f（x）取最小值-

2

．（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

即kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π；k∈z
又x∈[0，

π

2

]，
∴f（x）在[0，

3

8

π]上的单调递增（12分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为一个角的三角函数，进而研究函数的性质．