Question

已知集合A={x|x²+3x+2＜0}若B={x|x²-4ax+3a²＜0}，A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出集合A，再将B中的不等式进行因式分解，根据集合B中方程两个根的大小关系进行分类讨论，分别研究A⊆B，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：A={x|x²+3x+2＜0}={x|-2＜x＜-1}，B={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|（x-a）（x-3a）＜0}，
①当3a＞a，即a＞0时，则B={x|a＜x＜3a}，此时A⊆B不成立；
②当3a=a，即a=0时，则B=?，此时A⊆B不成立；
③当3a＜a，即a＜0，则B={x|3a＜x＜a}，
∵A⊆B，
∴

3a≤-2 a≥-1

?-1≤a≤-

2

3

，
故实数a的取值范围为[-1，-

2

3

]．
综合①②③可得，实数a的取值范围是[-1，-

2

3

]．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，集合的包含关系的应用．求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集，如果方程的根的大小关系部确定，则需要进行分类讨论求解．本题运用了分类讨论的数学思想方法．属于基础题．