设函数f(x)在其定义域D上的导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h对任意的x∈D.都有h(x2-ax+1).则称函数f.给出下列四个函数:①f(x)=$\frac{1}{3}$x3-x2+x+1, ②f(x)=lnx+$\frac{4}{x+1}$,③f(x)=(x2-4x+5)ex, ④f(x)=$\frac{{x}^{2}+x}{2x+1}$其中具有性质ωA．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D，都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质ω（a），给出下列四个函数：
①f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x+1； ②f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$；
③f（x）=（x²-4x+5）e^x； ④f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{2x+1}$
其中具有性质ω（2）的函数为（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

②③④

D．

①③④

分析因为a=2，所以先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x²-2x+1）这种形式，分别求出h（x），然后确定h（x）是否满足对任意的x∈D都有h（x）＞0．

解答解：①f'（x）=x²-2x+1，若f′（x）=h（x）（x²-2x+1），即x²-2x+1=h（x）（x²-2x+1），
所以h（x）=1＞0，满足条件，所以①具有性质ω（2）．
②函数f（x）=lnx++$\frac{4}{x+1}$的定义域为（0，+∞）．f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{（x+1）}^{2}-4x}{x{•（x+1）}^{2}}$=$\frac{1}{x{•（x+1）}^{2}}$•（x²-2x+1），
所以h（x）=$\frac{1}{x{•（x+1）}^{2}}$，当x∈（0，+∞）时，h（x）＞0，所以②具有性质ω（2）．
③f'（x）=（2x-4）e^x+（x²-4x+5）e^x=（x²-2x+1）e^x，所以h（x）=e^x，因为h（x）＞0，所以③具有性质ω（2）．
④f′（x）=$\frac{（2x+1）（2x+1）-2{（x}^{2}+1）}{{（2x+1）}^{2}}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+1}{{（2x+1）}^{2}}$，若f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+2x+1}{{（2x+1）}^{2}•{（x}^{2}-2x+1）}$•（x²-2x+1），
则h（x）=$\frac{{2x}^{2}+2x+1}{{（2x+1）}^{2}•{（x}^{2}-2x+1）}$，因为h（1）不存在，所以不满足对任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性质ω（2），
故选：A．