题目内容

已知函数 $数学公式$
（I）求f（log₂3）的值
（II）证明f（x）的是奇函数；
（III）求f（x）的值域．

解：（I）∵函数 $\text{[math]}$ ，
∴f（log₂3）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（II）∵ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的定义域为R，
∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$
=-f（x），
∴f（x）为R上的奇函数．
（III） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的值域是（-1，1）．
分析：（I）由函数 $\text{[math]}$ ，知f（log₂3）= $\text{[math]}$ ，由此利用对数的恒等式 $\text{[math]}$ ，能求出结果．
（II）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =-f（x），由此能证明f（x）为R上的奇函数．
（III）由 $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，利用2^x＞0，得 $\text{[math]}$ ，由此能求出f（x）的值域．
点评：本题考查对数恒等式 $\text{[math]}$ 的应用和对数奇偶性的证明，求对数函数值域的方法，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．