Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并求函数f（x）取得最大值时x的取值集合；
（Ⅲ）求函数f（x）的增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先通过二倍角公式对函数f（x）的解析式进行化简，得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2，根据正弦函数的性质可知函数f（x）的中心坐标．
（Ⅱ）根据正弦函数的性质，当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

时，函数取最大值，进而可求出函数f（x）的最大值和此时x的集合．
（Ⅲ）根据正弦函数的性质，当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

时，函数单调增，进而求出函数的增区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

(1-cos2x)+sin2x+

3

2

(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．
令2x+

π

4

=kπ得x=

kπ

2

-

π

8

(k∈Z)，
∴函数f（x）图象对称中心的坐标是(

kπ

2

-

π

8

 ， 0)，（k∈Z）．
（Ⅱ）当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，ymax=2+

2

．
∴函数f（x）取得最大值时X的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．
（Ⅲ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)，
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换和正弦函数的性质．熟练掌握正弦函数的单调性、对称性、奇偶性是快速解题的前提．