Question

对a的哪些值,函数y=的值域包含[0,1]?

Answer 1

解：值域包含[0,1]的意思是方程=k,对任何k∈[0,1]都有解.

    当k=0时,若a=-1,则==0无解.

    若a≠-1,则=0总有解,∴a≠-1.

    设k≠0,则方程化为x+1=(a+x²)k,

    即kx²-x+(ak-1)=0,为使它对k∈(0,1)有解,则判别式Δ=1-4k(ak-1)≥0,

∴a≤,k∈(0,1].

∵函数f(k)==+(k∈(0,1])是两个减函数之和,

∴f(k)仍是减函数.

    故最小值f(1)=.

    因此当a≤时a≤总成立,

    即方程=k总有解.

    从而所求a的取值为a∈(-∞,-1)∪(-1,].