Question

已知圆C：（x+1）²+y²=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设过点C的直线l₁交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l₂交曲线E于R，T两点，且l₁⊥l₂，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点）
①设W（x_°，y_°），证明：

x°2

2

+y°2＜1；
②求四边形QRST的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设动圆半径为r，则|PC|=2

2

-r，|PD|=r，|PC|+|PD|=2

2

＞|CD|=2，由椭圆定义能求出点P的轨迹E的方程．
（2）①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，由Q，S，R，T为不同的四个点，能够证明

x°2

2

+y°2＜1．
②若l₁或l₂的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l₁的斜率为k₁，则l₁的方程为y=k₁（x+1）

y=k1(x+1) x2 2 +y2=1

，得|QS|=2

2

k2+1

2k2+1

，同理得|RT|=2

2

k2+1

k2+2

，由此能求出四边形QRST的面积取得最小值．

解答：（1）解：设动圆半径为r，
则|PC|=2

2

-r，|PD|=r，|PC|+|PD|=2

2

＞|CD|=2，
由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，
其方程为

x2

2

+y2=1．（2分）
（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，
则有x°2+y°2=1，
又因Q，S，R，T为不同的四个点，

x°2

2

+y°2＜1．（4分）
②解：若l₁或l₂的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．（6分）
若两条直线的斜率存在，设l₁的斜率为k₁，
则l₁的方程为y=k₁（x+1），
联立

y=k1(x+1) x2 2 +y2=1

，
得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
则|QS|=2

2

k2+1

2k2+1

，（8分）
同理得|RT|=2

2

k2+1

k2+2

，
∴SQSRT=

1

2

|QS|•|RT|=4

(k2+1)2

(2k2+1)(k2+2)

≥4

(k2+1)2

9 4 (k2+1)2

=

16

9

，
当且仅当2k²+1=k²+1，即k=±1时等号成立．（11分）
综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为

16

9

．（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查不等式的证明，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．