Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α和β，$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，其终边分别交单位圆于A，B两点．若A，B两点的横坐标分别是$\frac{3}{5}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$． 试求
（1）tanα，tanβ的值；
（2）∠AOB的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义即可求tanα，tanβ的值；
（2）∠AOB=β-α，利用两角和差的正切公式进行求解即可．

解答 解：（1）由条件知cosα=$\frac{3}{5}$，cosβ=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
则tanα=$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{4}{3}$，tanβ=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{-\frac{\sqrt{2}}{10}}$=-7；
（2）∵∠AOB=β-α，
∴tan∠AOB=tan（β-α）=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$=$\frac{-7-\frac{4}{3}}{1+（-7）×\frac{4}{3}}$=$\frac{-25}{-25}=1$，
∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴0＜β-α＜π，
则β-α=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义以及两角和差的正切公式的应用，考查学生的运算能力．