Question

已知函数f（x）=2e^2x+2x+sin2x．（Ⅰ）试判断函数f （x）的单调性并说明理由；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，1]，不等式组

f(2kx-x2)＞f(k-4) f(x2-kx)＞f(k-3)

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）在R上单调递增．利用导数证明如下：
因为f（x）=2e^2x+2x+sin2x，
所以，f'（x）=4e^2x+2+2cos2x＞0在R上恒成立，
所以f（x）在R上递增．（5分）
（Ⅱ）由于f（x）在R上递增，不等式组可化为

x2-2kx+k-4＜0 x2-kx-k+3＞0

，对于任意x∈[0，1]恒成立．
令F（x）=x²-2kx+k-4＜0对任意x∈[0，1]恒成立，
必有

F(0)＜0 F(1)＜0

，即

k-4＜0 1-2k+k-4＜0

，解之得-3＜k＜4，
再由x²-kx-k+3＞0对任意x∈[0，1]恒成立可得k＜

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

-2，
在x∈[0，1]恒成立，因此只需求

x2+3

x+1

的最小值，而（x+1）+

4

x+1

-2≥2．
当且仅当x=1时取等号，故k＜2．
综上可知，k的取值范围是（-3，2）．（12分）