Question

定义在R上奇函数f（x），f（x+2）=

1-f(x)

1+f(x)

，则f（2010）=（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．2

Answer 1

分析：根据f（x+4）=

1- f(x+2)

1+ f(x+2)

=

1-  1-f(x) 1+f(x)

1+  1-f(x) 1+f(x)

=f（x），可得f（x）为周期函数，且周期 T=4，由f（x）是奇函数，可得f （0）=0，故f（2010）=f（2）=

1-f(0)

1+f(0)

，运算求得结果．

解答：解：∵f（x+2）=

1-f(x)

1+f(x)

，∴f（x+4）=

1- f(x+2)

1+ f(x+2)

=

1-  1-f(x) 1+f(x)

1+  1-f(x) 1+f(x)

=

2f(x)

2

=f（x），
∴f（x）为周期函数，且周期 T=4，∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=

1-f(0)

1+f(0)

．
又 f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴

1-f(0)

1+f(0)

=1，故f（2010）=1，
故选B．

点评：本题考查函数的奇偶性，周期性，利用周期性求函数的值，得到 f（x）为周期函数，且周期 T=4，是解题的关键．