Question

随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面．线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料和设计要求，求BD与α应成的角．

Answer 1

分析：设D在α上的射影为H，则可得AC，DH共面，过D作DK⊥AC于K，则AHDK为矩形，从而可求DH，即可求得BD与α应成的角．

解答：解：设D在α上的射影为H
∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，

∴AC，DH共面，
过D作DK⊥AC于K，则AHDK为矩形，…..（4分）
设DH=h，则（AC-h）²+AH²=CD²，①…..（6分）
由三垂线定理易知BH⊥AB，
∴AH²=AB²+BH²=AB²+（BD²-h²）②…..（8分）
将②代入①，得：（24-h）²+7²+（24²-h²）=25²，解得h=12，…..（10分）
∴sin∠DBH=

1

2

，
∴∠DBH=30°，即BD与α所成的角是30°．…..（12分）

点评：本题考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．