Question

解不等式：log2(x12+3x10+5x8+3x6+1)＜1+log2(x4+1)．

Answer 1

分析：由题意求得（x⁸+2x⁶+4x⁴+x²+1）（x⁴+x²-1）＜0，故有 x⁴+x²-1＜0，由此解得 x² 的范围，即可求得x的范围，从而求得不等式的解集．

解答：解：不等式即 log2(x12+3x10+5x8+3x6+1)＜log2(2x4+2)，
∴2x⁴+2＞x¹²+3 x¹⁰+5x⁸+3x⁶+1＞0，∴x¹²+3 x¹⁰+5x⁸+3x⁶+1-2x⁴-2＜0．
即 （x¹²+x¹⁰-x⁸）+2（x¹⁰+x⁸-x⁶）+4（x⁸+x⁶-x⁴）+（x⁶+x⁴-x²）+（x⁴+x²-1）＜0．
化简可得 （x⁸+2x⁶+4x⁴+x²+1）（x⁴+x²-1）＜0，
故有 x⁴+x²-1＜0，解得 0≤x²＜

-1+ 5

2

，
故解集为{x|-

-1+ 5 2

＜x＜

-1+ 5 2

}．

点评：本题主要考查高次不等式的解法，化简得到（x⁸+2x⁶+4x⁴+x²+1）（x⁴+x²-1）＜0，是解题的关键
和难点，属于中档题．