Question

【题目】设为数列前项的和，，数列的通项公式.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，则称为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求的值；

（3）是否存在正整数、、使得成立，若存在，求出、、；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），数列和的值为；（3）存在，，，.

【解析】

（1）根据，得时，，两式相减得到，再求出时，的值，利用等比数列通项公式，得到答案；（2）根据，可得，，，，求出的通项，根据无穷等比数列的求和公式，即可求出答案；（3）假设存在整数、、使得成立，从而得到，根据等式两边的奇偶，得到，进而得到和的值.

（1）因为，

所以当时，，

两式相减，得到，

即

时，，解得

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

（2），.

可得，，，

所以得到

所以

所以

.

（3）假设存在整数、、使得成立，

则

即

即

等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数

又因，所以只能有，

故

可得

即

等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数

又因，所以只能有

故

可得，所以

所以只存在一组正整数、、，使得成立.