Question

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1,AA₁=2,G是CC₁上的动点。

（Ⅰ）求证：平面ADG⊥平面CDD₁C₁

（Ⅱ）判断B₁C₁与平面ADG的位置关系，并给出证明；

（Ⅲ）若G是CC₁的中点，求二面角G－AD－C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）当点G与C₁重合时，B₁C₁在平面ADG内，

当点G与C₁不重合时，B₁C₁∥平面ADG（Ⅲ）45°

解析:

（Ⅰ）∵ ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=AD

        ∴平面-----------------------------------2分

        ∵平面    ∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁----------------------------4分

（Ⅱ）当点G与C₁重合时，B₁C₁在平面ADG内，

当点G与C₁不重合时，B₁C₁∥平面ADG-------------------------------------------6分

证明：∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，

∴B₁C₁∥AD

若点G与C₁重合， 平面ADG即B₁C₁与AD确定的平面，∴B₁C₁平面ADG

若点G与C₁不重合

∵平面,平面且B₁C₁∥AD

∴B₁C₁∥平面ADG----------------------------------------------------------10分

（Ⅲ）∵  ∴为二面角G－AD－C的平面角----12分

在Rt△GDC中，∵GC=1,DC=1   ∴=45°-------------------13分