Question

已知二次函数f（x）满足：（1）f（0）=-6，（2）关于x的方程f（x）=0的两实根是x₁=-1，x₂=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-mx，且g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），根据一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）先求出二次函数g（x）的对称轴为x=

m+4

4

，根据g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，可得

m+4

4

≥2或

m+4

4

≤-2，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由题意可知：c=-6，x1+x2=2=-

b

a

，x1x2=-3=

-6

a

．
解得：a=2，b=-4，所以f（x）=2x²-4x-6．…（6分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-mx=2x²-4x-6-mx=2x²-（m+4）x-6，它的对称轴x=

m+4

4

．
因为g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，所以，

m+4

4

≥2或

m+4

4

≤-2，
解得 m≤-12，或m≥4，即实数m的取值范围为{m|m≤-12，或m≥4}．…（13分）

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．