Question

设{a_n}是等差数列，从{a₁，a₂…，a_n}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有

n(n-2)

2

（n为偶数）或（n-1）²（n为奇数）

个．

Answer 1

分析：分类讨论，分n为奇数和偶数两种情况讨论，即可得到结论．．

解答：解：当n为偶数时，从a₁，a₃，…，a_n-1中任选两个作为等差数列的第一、三，等差中项唯一确定，只有一种选法，从a₂，a₄，…，a_n中任选两个作为等差数列的第一、三，等差中项唯一确定，只有一种选法．又数列有递增和递减之分，∴这样的等差数列共有2

C

2 n 2

A

2 2

=

n(n-2)

2

个；
当n为奇数时，从a₁，a₃，…，a_n中任选两个作为等差数列的第一、三，等差中项唯一确定，只有一种选法，从a₂，a₄，…，a_n-1中任选两个作为等差数列的第一、三，等差中项唯一确定，只有一种选法．又数列有递增和递减之分，∴这样的等差数列共有(

C

2 n+1 2

+

C

2 n-1 2

)

A

2 2

=（n-1）²个．
故答案为：

n(n-2)

2

（n为偶数）或（n-1）²（n为奇数）．

点评：本题考查等差数列的性质，考查利用排列组合解决实际问题，考查分类计数原理的应用，属于中档题．