Question

已知函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行．
求：（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤x²+b恒成立．求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，解得a=-1．故f′(x)=

1

x

-2x，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由函数f（x）≤x²+b恒成立，知b≥lnx-2x²恒成立，故b≥（lnx-2x²）_max．由此能求出实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx+ax²，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

+2ax，
∵函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴f′(x)=

1

x

-2x，
∵x＞0，∴由f′(x)=

1

x

-2x＞0，得0＜x＜

2

2

；由f′(x)=

1

x

-2x＜0，得x＞

2

2

．
∴函数f（x）的单调减区间为（

2

2

，+∞），单调增区间为（0，

2

2

）．
（2）∵函数f（x）≤x²+b恒成立，
∴b≥lnx-2x²恒成立，
∴b≥（lnx-2x²）_max．
设g（x）=lnx-2x²，x＞0．
则g′(x)=

1

x

-4x，
令g′(x)=

1

x

-4x=0，得x=

1

2

．
当0＜x＜

1

2

时，g′（x）＞0；当x＞

1

2

时，g′（x）＜0．
∴当x=

1

2

时，g(x)max=g(

1

2

)=ln

1

2

-2×（

1

2

）²=1n

1

2

-

1

2

．
∴b≥ln

1

2

-

1

2

．
故b的取值范围是（ln

1

2

-

1

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义的应用．解题时要认真审题，注意直线平行的条件和等价转化思想的合理运用．