Question

三棱锥P-ABC中，PC=x，其余棱长均为1．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求三棱锥P-ABC的体积的最大值．

Answer 1

分析：（1）取AB中点M，由△PAB与△CAB均为正三角形，知AB⊥PM，AB⊥CM，由此能够证明AB⊥PC．
（2）当PM⊥平面ABC时，三棱锥的高为PM，由此能求出三棱锥P-ABC的体积的最大值．

解答：解：（1）取AB中点M，
∵△PAB与△CAB均为正三角形，
∴AB⊥PM，AB⊥CM，
∴AB⊥平面PCM，
∴AB⊥PC．
（2）当PM⊥平面ABC时，
三棱锥的高为PM，
此时Vmax=

1

3

S△ABC•PM=

1

3

•

3

4

•

3

2

=

1

8

．

点评：本题考查PC⊥AB的证明和求三棱锥P-ABC的体积的最大值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．