Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），求 {b_n}的通项公式；
（3）设c_n=

1

an+1

（n∈N^*），S_n为数列{c_n}的前n项和，若存在n使S_n＞M，求M的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6；再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20．
（2）当n∈N^*时，由已知以n+2代替m可得a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8，由此能求出{b_n}的通项公式．
（3）由a_2n+=1-a_2n-1=8n-2，令m=1可得a_n=

a2n+1+a1

2

-（n-1）²．那么a_n+1-a_n=

a2n+1-a2n-1

2

-2n+1=

8n-2

2

-2n+1=2n，故a_n=n（n-1），故c_n=

1

an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能导出M的取值范围．

解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20（2分）
（2）当n∈N^*时，由已知以n+2代替m可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差为8的等差数列（6分）
又{b_n}是首项为b₁=a₃-a₁=6，故b_n=8n-2（8分）
（3）由（1）（2）解答可知a_2n+1-a_2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
a_n=

a2n+1+a1

2

-（n-1）²．那么a_n-a_n-1=

a2n+1-a2n-1

2

-2n+3=

8n-2

2

-2n+3=2n+2，
故a_n=n（n-1）（12分）
故c_n=

1

an+1

=

1

n(n+1)

，得c_n=

1

n

-

1

n+1

，
故Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，（14分）
当n∈N^*时，1-

1

n+1

∈[

1

2

，1)，由题意若存在n使1-

1

n+1

＞M
则M＜1，即M的取值范围为M＜1．（16分）

点评：本题考查数列中某项的求法、通项公式的计算和求解前n项和的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．