Question

（08年银川一中二模）（12分） 已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA₁=3，设D为AA₁的中点。

   （1）作出该几何体的直观图并求其体积；

   （2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；

   （3）BC边上是否存在点P，使AP//平面BDC₁？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。

Answer 1

解析：（1）解：由题意可知该几何体为直三棱柱，直观图略。

∵几何体的底面积                …………3分

   （2）证明：连结B₁C交BC₁于E点，则E为BC₁、B₁C的中点，连结DE。

∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°

∴△ABD≌△DA₁C₁，∴BD=DC₁，

∴DE⊥BC₁。                                                                                     …………5分

同理DE⊥B₁C

又∵B₁C∩BC₁=E，∴DE⊥面BB₁C₁C，

又∵DE面BDC₁，∴面BDC₁⊥面BB₁C₁C                                         …………7分

   （3）解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC₁                      

证明：连结PE，则PE平行且等于AD，

∴四边形APED为平行四边形，∴AP∥DE，又DE平面BDC₁，AP平面BDC₁，

∴AP∥平面BDC₁.                                 …………12分