Question

（2010•郑州三模）过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A、B两点．
（Ⅰ）试证明A、B两点的纵坐标之积为定值；
（Ⅱ）若点N（-m，2m），求直线AN、BN的斜率之和．

Answer 1

分析：（1）由题意设直线AB的方程为x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系即可得出；
（2）设直线AN，BN的斜率分别为k₁k₂，利用向量计算公式可得k1=

y1-2m

x1+m

，k2=

y2-2m

x2+m

又x=

y2

2p

，2pm=-y₁y₂，且y₁≠y₂，即可证明k₁+k₂=定值．

解答：（1）证明：由题意设直线AB的方程为x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=ty+m y2=2px

 消x得：y²-2pty-2pm=0    ①
∴y₁y₂=-2pm为定值．   
（2）解：设直线AN，BN的斜率分别为k₁k₂，
则k1=

y1-2m

x1+m

，k2=

y2-2m

x2+m

又x=

y2

2p

，2pm=-y₁y₂，且y₁≠y₂，
所以k₁+k₂=

y1-2m

y 2 1 2p +m

+

y2-2m

y 2 2 2p +m

=2p（

y1-2m

y 2 1 +2pm

+

y2-2m

y 2 2 +2pm

）
=2p（

y1-2m

y 2 1 -y1y2

+

y2-2m

y 2 2 -y1y2

）
=2p•

y1y2-2y2m-y1y2+2y1m

y1y2(y1-y2)

=

4pm

y1y2

=-2．
即直线AN，BN的斜率和为-2为所求．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．