Question

已知斜率为k（k≠0）的直线l过抛物线C：y²=4x的焦点F且交抛物线于A、B两点．设线段AB的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若﹣2＜k＜﹣1时，点M到直线l'：3x+4y﹣m=0（m为常数，）的距离总不小于，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）设AB的中点为O（x，y）；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线过抛物线y²=4x得焦点F（1，0），
∴设直线的方程为：y=k（x﹣1），①
将①²代入抛物线方程中可得：k²（x﹣1）²=4x，
∴k²x²﹣（2k²+4）x+k²=0，②
∴x₁+x₂=（2k²+4）=2+，
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂﹣2）=，
又∵x==1+，…③
y==，
∴，…④
∴将④代入③可得：x=1+，
∴y²=2x﹣2．
所以点M的轨迹方程为：y²=2x﹣2．
（2）由（1）知，点M（，），
∵M（，）到直线l'：3x+4y﹣m=0的距离d=，
∴点M到直线l'：3x+4y﹣m=0（m为常数，）的距离总不小于，
∴，
∴，或，
即，或，
∴﹣2＜k＜﹣1，∴﹣＜＜4，
，
∴m，或m≥6，
∴m＜，
∴m≤﹣．
故m的取值范围是{m|m≤﹣}．