Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若

AB

•

BC

=-

3

2

，b=

3

，求a+c的值；
（2）求2sinA-sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．
（2）通过两角和公式对2sinA-sinC，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA-sinC的取值范围．

解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，
∴B=

π

3

．
∵

AB

•

BC

=-

3

2

，
∴accos（π-B）=-

3

2

，
∴

1

2

ac=

3

2

，即ac=3．
∵b=

3

，b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-ac=3，即（a+c）²-3ac=3．
∴（a+c）²=12，所以a+c=2

3

．
（2）2sinA-sinC=2sin（

2π

3

-C）-sinC=2（

3

2

cosC+

1

2

sinC）-sinC=

3

cosC．
∵0＜C＜

2π

3

，
∴

3

cosC∈（-

3

2

，

3

）．
∴2sinA-sinC的取值范围是（-

3

2

，

3

）．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质．