题目内容

若对于0≤a≤1，不等式
a
+
1-a
＜p恒成立，则实数p的取值范围是
 
．
分析：令t=
a
+
1-a
，将其平方，利用基本不等式求出最大值，从而求出t的最大值，即可求出p的取值范围，在运用基本不等式时需注意等号成立的条件．
解答：解：令t=
a
+
1-a
，
∵0≤a≤1，∴
a
≥0，
1-a
≥0，t＞0
∴t2=a+1-a+2
a
•
1-a
=1+2
a
•
1-a
≤1+(
a
)2+(
1-a
)2=2，
当且仅当
a
=
1-a
时，即a=
1
2
时取等号，
∴t=
a
+
1-a
≤
2
，
∵对于0≤a≤1，不等式
a
+
1-a
＜p恒成立，
∴p＞
2
，
∴实数p的取值范围是（
2
，+∞）．
故答案为：（
2
，+∞）．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，在运用基本不等式求最值时要注意等号成立的条件是“一正，二定，三相等”，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-
16
[g(a)-27]，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+
12a2+1
对称，求b的最小值．
（2013•宁波模拟）已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x1、x2、x3∈[0，1]，总存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．
已知函数f（x）=
1
3
x3+
a-3
2
x2+（a2-3a）x-2a
（1）如果对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数f（x）的两个极值点分别为x1x2判断①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H（x）=
1
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[g（x）-27]，m，n∈（0，1）且m≠n，试比较|H（m）-H（n）|与|em-en|（e为自然对数的底）的大小，并证明．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则x0为f（x）的不动点；已知f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0），则当a=1，b=-2时，f（x）的不动点为
-1，3
-1，3
．

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