Question

【题目】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接

（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，

由底面为长方形，有，而，

所以．而，所以．

又因为，点是的中点，所以．

而，所以平面．而，所以．

又，，所以平面．

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为．

（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面

的交线．由（Ⅰ）知，，所以．

又因为底面，所以．而，所以．

故是面与面所成二面角的平面角，

设，，有，

在Rt△PDB中, 由, 得,

则, 解得．

所以

故当面与面所成二面角的大小为时，．

（解法2）

（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

设，，则，，点是的中点，

所以，，

于是，即．

又已知，而，所以．

因,, 则, 所以．

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为．

（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量．

若面与面所成二面角的大小为，

则，

解得．所以

故当面与面所成二面角的大小为时，．