Question

已知函数．

（1）若，讨论函数在区间上的单调性；

（2）若且对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）参考解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）函数，，所以可得函数.通过对函数求导，以及对讨论即可得到结论.

（2）由且对任意的，将换留下一个参数，又恒成立.构建新函数，通过对函数求导得到，对的取值分类讨论即可得结论.

试题解析：（1）时，，则， 1分

当时，，所以函数在区间上单调递减； 2分

当时，，所以函数在区间上单调递增； 3分

当时，存在，使得，即， 4分

时，，函数在区间上单调递增， 5分

时，，函数在区间上单调递减． 6分

（2）时，，

恒成立，等价于， 7分

记，

则， 8分

当，即时，，在区间上单调递减，

所以当时，，即恒成立； 10分

当，即时，记，则，

存在，使得,

此时时，，单调递增，，即，

所以，即，不合题意； 12分

当时，，不合题意； 13分

综上，实数的取值范围是 14分

考点：1.函数的单调性.2.函数的最值.3.恒成立问题.4.归纳化归的思想.