Question

已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.

（1）证明：面PAD⊥面PCD；

（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

Answer 1

方法1：（1）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（2）解:过点B作BE∥CA，且BE=CA，

则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形.

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°,

在Rt△PEB中BE=2，PB=，∴cosPBE=.

∴AC与PB所成的角为arccos.

（3）解:作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=·AC，∴AN=.

∵AB=2，cosANB=.故所求的二面角为arccos(-).

方法2：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如下图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）,B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）.

（1）证明：因=(0,0,1), =(0,1,0)，故·=0，所以AP⊥DC.

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

（2）解:因=(1,1,0),=(0,2,-1)，故=,,

=2，所以cos＜,＞=.

由此得AC与PB所成的角为arccos

（3）解:在MC上取一点N（x，y，z），则存在

λ∈R,使，

=（1-x,1-y,-z）,=(1,0,- ),∴x=1-λ,y=1,z=λ.

 

要使AN⊥MC，只需=0，即x-z=0，解得λ=.

可知当λ=时，N点坐标为(,1,)，能使=0.此时=(,1,),=(,-1,),有·=0.由·=0, ·=0，得AN⊥MC,BN⊥MC，所以∠ANB为所求二面角的平面角.

∵,·=-

∴cos＜,＞=

故所求的二面角为arccos(-).