Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁与公差d均为自然数，已知集合M={（a₁，d）|S₁₁＜143且a₁，a₂，a₄成等比数列}，若函数f(x)=log

1

2

(x+a)+b恰好经过集合M中的两个点，则满足条件的函数有

1

个．

Answer 1

分析：由a₁，a₂，a₄成等比数列，知a₁×（a₁+3d）=（a₁+d）²，解得d=a₁，所以，S_n=

1

2

nd（n+1），因为S₁₁=66d＜143，且d和a₁为自然数，所以d=1或d=2，M={（1，1），（2，2）}，故满足条件的函数有1个．

解答：解：∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴a₁×（a₁+3d）=（a₁+d）²，
a₁²+3d×a₁=a₁²+2d×a₁+d²，
∵首项a₁与公差d均为自然数，
解得d=a₁，即a_n=nd，
所以，S_n=

1

2

nd（n+1），
因为S₁₁=66d＜143，且d和a₁为自然数
∴d=1，或d=2
∴M={（1，1），（2，2）}，
∴满足条件的函数有1个．
故答案为：1．

点评：本题考查函数与数列的综合，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用．