Question

（1）利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式：C_α-β：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）由C_α-β推导两角和的正弦公式S_α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Answer 1

分析：（1）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β．
设它们的终边分别交单位圆于点P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），即有两单位向量

OP1

，

OP2

，它们的所成角是|α-β|，根据向量数量积的性质能够证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）先由诱导公式得sin（α+β）=cos（

π

2

-α-β)=cos[(

π

2

-α)-β，再进一步整理为cos[（

π

2

-α)cosβ+sin(

π

2

-β]，然后利用和差公式和诱导公式能够得到sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

解答：解：（1）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，
作一单位圆，再以原点为顶点，
x轴非负半轴为始边分别作角α，β．
设它们的终边分别交单位圆于点P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），…（4分）
即有两单位向量

OP1

，

OP2

，
它们的所成角是|α-β|，
根据向量数量积的性质得：

OP1

•

OP2

=cos(α-β)=cos|α-β|①
又根据向量数量积的坐标运算得：

OP1

•

OP2

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…（9分）
（2）sin（α+β）=cos（

π

2

-α-β)=cos[(

π

2

-α)-β]…（11分）
=cos[（

π

2

-α)cosβ+sin(

π

2

-β]…（13分）
=cos（

π

2

-α）cosβ+sin（

π

2

-α）sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
即有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…（15分）

点评：本题考查平面向量的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，利用三角函数的性质合理地进行等价转化．