Question

14．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，点p在直线A₁B₁上运动，且$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$λ\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$（λ∈[0，1]）
（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最小？并指出该角取最小值时点P所在的位置；
（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}$=0，能证明无论λ取何值，总有AM⊥PN．
（2）求出平面ABC的一个法向量，利用向量法求出当$λ=\frac{1}{2}$时，θ取最小值，此时tanθ=2．
（3）求出$\overrightarrow{NM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）和平面PMN的一个法向量，利用向量法能求出不存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°．

解答 （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$λ\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=λ（1，0，0）=（λ，0，0），
$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（λ，0，1），
$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}-λ，\frac{1}{2}，-1$），
∵$\overrightarrow{AM}=（0，1，\frac{1}{2}）$，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}$=0+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0，
∴无论λ取何值，总有AM⊥PN．
（2）解：∵$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），是平面ABC的一个法向量，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}$＞|=$\frac{|-1|}{\sqrt{（\frac{1}{2}-λ）^{2}+\frac{1}{4}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}}$，
∴当$λ=\frac{1}{2}$时，θ取最小值，此时tanθ=2．
（3）解：存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，
$\overrightarrow{NM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PMN的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，
取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2-2λ），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|2-2λ|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+（2-2λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简，得4λ²+10λ+13=0，（*）
∵△=100-4×4×13=-108＜0，
∴方程（*）无解，
∴不存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角最小时点所在的位置的确定，考查是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°的判断与求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题时要注意向量法的合理运用．